有限元分析中的材料单位

摘要：本文对使用有限元软件分析工程问题时的材料性能单位问题作了一些探讨，通过实例说明了如何统一各物理量的单位，以保证分析结果的正确。

关键词：有限元、材料性能、单位

大多数有限元计算程序都不规定所使用的物理量的单位，不同问题可以使用不同的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一就可以。但是，由于在实际工程问题中可能用到多种不同单位的物理量，如果只是按照习惯采用常用的单位，表面上看单位是统一的，实际上单位却不统一，从而导致错误的计算结果。

比如，在结构分析中分别用如下单位：长度 – m；时间 – s；质量 – kg；力 - N；压力、应力、弹性模量等 – Pa，此时单位是统一的。但是如果将压力单位改为 MPa，保持其余单位不变，单位就是不统一的；或者同时将长度单位改为 mm，压力单位改为 MPa，保持其余单位不变，单位也是不统一的。由此可见，对于实际工程问题，我们不能按照手工计算时的习惯来选择各物理量的单位，而是必须遵循一定的原则。

物理量的单位与所采用的单位制有关。所有物理量可分为基本物理量和导出物理量，在结构和热计算中的基本物理量有：质量、长度、时间和温度。导出物理量的种类很多，如面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等等，都与基本物理量之间有确定的关系。基本物理量的单位确定了所用的单位制，然后可根据相应的公式得到各导出物理量的单位。具体做法是：首先确定各物理量的量纲，再根据基本物理量单位制的不同得到各物理量的具体单位。

基本物理量及其量纲：

质量 m; 长度 L; 时间 t; 温度 T。

导出物理量及其量纲：

速度： v = L / t; 加速度： a = L / t²;

面积： A = L²; 体积： V = L³;

密度： ρ= m / L³;

力： f = m · a = m · L / t²;

力矩、能量、热量、焓等： e = f · L = m · L²/ t²;

压力、应力、弹性模量等： p = f / A = m / (t² · L) ;

热流量、功率： ψ= e / t = m · L²/ t³;

导热率： k =ψ/ (L · T) = m · L/ (t³ · T);

比热： c = e / (m · T) = L²/ (t² · T);

热交换系数： Cv = e / (L² · T · t) = m / (t³ · T)

粘性系数： Kv = p · t = m / (t · L) ;

粘性阻尼系数： C = f / v = m / t ; (力与速度成正比)

结构阻尼系数： Kc = f / L = kg / t² ; (力与位移成正比)

熵： S = e / T = m · l² / (t² · T);

质量熵、比熵： s = S / m = l² / (t² · T);

在选定基本物理量的单位后，可导出其余物理量的单位，可以选用的单位制很多，下面举两个常用的例子。

1 基本物理量采用如下单位制：

质量 m – kg；长度 L – mm；时间 – S；温度 – K (温度 K与 C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与 kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：

速度： v = L / t = mm / S = 10^-3 m / S; 加速度： a = L / t² = mm / S² = 10^-3 m / S²;

面积： A = L²= mm² = 10^-6 m²; 体积： V = L³= mm³ = 10^-9 m³;

密度： ρ= m / L³= kg / mm³ = 10^-9 kg / m³ = 10^-6 g / cm³;

力： f = m · L / t²= kg · mm / S²= 10^{–3 kg} · m / S²= mN (牛);

力矩、能量、热量、焓等： e = m · L²/ t² = kg · mm² / S²= 10^{–6 kg} · m² / S²= µ J (焦耳);

压力、应力、弹性模量等： p = m / (t² · L) = kg / (S² · mm) = 10^{3 kg} / (S² · m) = kPa (帕);

热流量、功率： ψ= m · L²/ t³ = kg · mm² / S³= 10^{–6 kg} · m² / S³= µ w (瓦);

导热率： k = m · L/ (t³ · T) = kg · mm / (S³ · K)= 10^{–3 kg} · m / (S³ · K);

比热： c = L²/ (t² · T) = mm² / (S² · K)= 10^{–6 m 2} / (S² · K);

热交换系数： Cv = m / (t³ · T) = kg / (S³ · K);

粘性系数： Kv = m / (t · L) = kg / (S · mm) = 10^{3 kg} / (S · mm);

粘性阻尼系数： C = f · t / L = kg / s ;

结构阻尼系数： Kc = f / L = kg / s² ;

熵： S = m · L² / (t² · T) = kg · mm² / (S² · K)= 10^{-6 kg} · m² / (S² · K);

质量熵、比熵： s = L² / (t² · T) = mm² / (S² · K)= 10^{-6 m 2} / (S² · K);

2 基本物理量采用如下单位制：

质量 m – g；长度 L – µm (10^{6 m)}；时间 – mS (10^–3S)；温度 – K (K与 C 等价)。

各导出物理量的单位可推导如下，同时还列出了与 kg-m-S 单位制或一些常用单位的关系：

速度： v = L / t = µm / mS = 10^-3 m / S; 加速度： a = L / t² = µm / mS² = m / S²;

面积： A = L²= µm² = 10^-12 m²; 体积： V = L³= µm³ = 10^-18 m³;

密度： ρ= m / L³= g / µm³ = 10^-21 kg / m³ = 10^-12 g / cm³;

力： f = m · L / t²= g · µm / mS²= 10^{–3 kg} · m / S²= mN (牛);

力矩、能量、热量、焓等： e = m · L²/ t² = g · µm² / mS²= 10^{–9 kg} · m² / S²= 10^–9 J (焦耳);

压力、应力、弹性模量等： p = m / (t² · L) = g / (mS² · µm) = 10^{9 kg} / (S² · m) = 10⁹ Pa (帕) = GPa;

热流量、功率： ψ= m · L²/ t³ = g · µm² / mS³= 10^{–6 kg} · m² / S³= 10^–6 w (瓦);

导热率： k = m · L/ (t³ · T) = g · µm / (mS³ · K)= kg · m / (S³ · K);

比热： c = L²/ (t² · T) = µm² / (mS² · K)= 10^{–6 m 2} / (S² · K);

热交换系数： Cv = m / (t³ · T) = g / (mS³ · K) = 10^{3 kg} / (S³ · K);

粘性系数： Kv = m / (t · L) = g / (mS · µm) = 10^{6 kg} / (S · mm);

粘性阻尼系数： C = f · t / L = g / s = 10^{-3 kg} / s;

结构阻尼系数： Kc = f / L = g / s² = 10^{-3 kg / s 2} ;

熵： S = m · L² / (t² · T) = g · µm² / (mS² · K)= 10^{-9 kg} · m² / (S² · K);

质量熵、比熵： s = L² / (t² · T) = µm² / (mS² · K)= 10^{-6 m 2} / (S² · K);

由此可见，掌握了单位之间变换的方法，就可以根据自己的需要来选择合适的单位制。更多的例子见表1。表2给出了几种单位制与 kg-m-S 单位制之间的换算因子。

表1 不同单位制的物理量单位

序

号

参数名

单位量纲

Kg-m-s

单位制

Kg-mm-s

单位制

T-mm-s

单位制

g-mm-s

单位制

长度L

(10^{-3 m)}

质量M

(10^{3 Kg)}

(10^{-3 Kg)}

时间t

温度T

面积A

L²

m²

mm²

(10^{-6 m 2})

mm²

(10^{-6 m 2})

mm²

(10^{-6 m 2})

体积V

L³

m³

mm³

(10^{-9 m 3})

mm³

(10^{-9 m 3})

mm³

(10^{-9 m 3})

力F

M · L / t²

N (牛) =Kg · m / s²

Kg · mm / s²

(10^-3 N)

T · mm / s²

(N)

g · mm / s²

(10^-6 N)

密度r

M / L³

Kg / m³

(10^{-3 g} / cm³)

Kg / mm³

(10^{6 g} / cm³)

T / mm³

(10^{9 g} / cm³)

g / mm³

(10^{3 g} / cm³)

能量、焓、

热量

M · L² / t²

J (焦耳) = N · m

= Kg · m²/ S²

Kg · mm²/ S²

(10^-6 J)

T · mm²/ S²

(10^-3 J)

g · mm²/ S²

(10^-9 J)

功率、热流量

m · L²/ t³

w (瓦) = J / S

= kg · m² / S³

kg · mm² / S³

(10^–6 w)

T · mm² / S³

(10^–3 w)

g · mm² / S³

(10^–9 w)

压力、应力、模量

M / (t² · L)

Pa = N / m²

= Kg / (s² · m)

Kg / (s² · mm)

(kPa)

T / (s² · mm)

(MPa)

g / (s² · mm)

(Pa)

导热率k

M · L /

(t³ · K)

J / (m · s · K) =

(Kg · m / (s³ · K))

Kg · mm / (s³ · K)

(10^{-3 Kg} · m /

(s³ · K))

T · mm / (s³ · K)

(Kg · m / (s³ · K))

g · mm / (s³ · K)

(10^{-6 Kg} · m /

(s³ · K))

比热c

L² / (t² · K)

J / (Kg · K) =

(m²/ (s² · K))

mm²/ (s² · K )

(10^{-6 m 2} / (s² · K ) )

mm²/ (s² · K )

(10^{-6 m 2} / (s² · K ) )

mm²/ (s² · K )

(10^{-6 m 2} / (s² · K ) )

体热源h

M / (t² · L)

J / m³ =

(Kg / (s² · m))

Kg / (s² · mm)

(10^{3 Kg / (s 2} · m) )

T / (s² · mm)

(10^{6 Kg / (s 2} · m) )

g / (s² · mm)

(1.0 Kg / (s² · m) )

换热

系数

M / (t³ · K)

J / (m² · s · K) =

(Kg / (s³ · K))

Kg / (s³ · K)

(Kg / (s³ · K))

T / (s³ · K)

(10^{3 Kg / (s 3} · K))

g / (s³ · K)

(10^{-3 Kg / (s 3} · K))

粘性

系数

M / (L · t)

Kg / (m · s)

Kg/(mm · s)

(10^{3 Kg /(m} · s) )

T / (mm · s)

(10^{6 g / (m} · s) )

g / (mm · s)

(1.0 g / (m · s) )

熵S

M · L² /

(t² · K)

J / K

= (Kg · m²/ S² · K)

Kg · mm²/ S² · K

(10^{-6 Kg} · m²

/ S² · K)

T · mm²/ S² · K

(10^{-3 Kg} · m²

/ S² · K)

g · mm²/S² · K

(10^{-9 Kg} · m²

/ S² · K)

比熵s

质量熵

L² / (t² · K)

J / (Kg · K )

= (m²/ S² · K)

mm²/ S² · K

(10^{-6 m 2}/ S² · K)

mm²/ S² · K

(10^{-6 m 2}/ S² · K)

mm²/ S² · K

(10^{-6 m 2}/ S² · K)

表2 不同单位制的物理量与Kg-m-s单位制的换算因子^[^注^]

序

号

参数名

公制单位

(Kg-m-s单位)

其它单位转换到Kg-m-s 单位制

kg-m-s单位转换到Kg-mm-s单位制

kg-m-s单位转换到T-mm-s单位制

kg-m-s单位转换到g-mm-s单位制

长度

Kg-mm-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10³

质量

g-cm-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10³

时间

Kg-mm-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

温度

Kg-mm-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

面积

L²

m²

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

体积

L³

m³

Kg-mm-s数值

· 10^-9

Kg-m-s数值

· 10⁹

Kg-m-s数值

· 10⁹

Kg-m-s数值

· 10⁹

力

M · L / t²

N=Kg · m / s²

Kg-mm-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 10⁶

密度

M / L ³

Kg / m ³

g-cm-s数值

· 10³

g-cm-s数值

· 10^-6

g-cm-s数值

· 10^-9

g-cm-s数值

· 10^-3

能量、焓

热流

M · L² / t²

J=Kg · m² / s²

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10⁹

功率、热流量

m · L²/ t³

w = kg · m² /S³

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10⁹

压力、应力、模量

M / (t² · L)

Pa=Kg/(s² · m)

Kg-mm-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 1.0

导热率

M · L / (t³ · K)

Kg · m/ (s³ · K)

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

1.0

Kg-m-s数值

· 10⁶

比热

L ² / (t² · K)

m ² / (s² · K)

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

体热源

M / (t² · L)

Kg / (s² · m)

Kg-mm-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 1.0

换热

系数

M / (t³ · K)

Kg / (s² · K)

Kg-mm-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 1.0

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10³

粘性

系数

M / (L · t)

Kg / (m · s)

Kg-mm-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10^-3

Kg-m-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 1.0

熵

M · L² / (K · t²)

Kg·m²/ (K · s²)

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10³

Kg-m-s数值

· 10⁹

比熵、

质量熵

L² / (t² · T)

m²/ (s² · K)

Kg-mm-s数值

· 10^-6

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

Kg-m-s数值

· 10⁶

注：后三列中给出的是将kg-m-S 单位制中的数值转换到其它单位制时 (在准备输入数据时) 所乘的因子；如果需要将其它单位制中的数值转换到kg-m-S 单位制 (在分析计算结果时)，则应该除以该因子！！！