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弧长法简介

4年前浏览4933

在之前一篇帖子《非线性行为初识》中,我们通过简单的弹簧杆件结构介绍了非线性问题,回顾一下该问题:如图所示,中间节点作用一个F的力,会产生一个位移v,                                  


由静力平衡关系可得到

该方程精确解如下,图中不同k对应的曲线,可以看到k比较小时,杆内力起主要作用,呈现出几何非线性,K较大时,弹簧起主要作用,呈现出弹簧的线弹性。

蓝色曲线为精确解,红色点点为固定载荷增量下求得的位移,k=1000时,牛顿迭代法能够很好地跟踪载荷位移路径,得到所有的位移响应。而当k=100时,曲线有下降段,此时牛顿迭代法就没法得到这个区域的位移响应了。

对于下图这样的问题,在拐点处切线刚度为0,在前面的牛顿迭代法中我们是通过给定载荷增量,它已经无法越过极值点得到完整地载荷位移曲线。而且还存在一个载荷对应多个位移,或者一个位移对应多个载荷的情况,很容易发生snap-through和snap-back现象。

今天就来介绍介绍弧长法,牛顿迭代法在翻过山头延切线方向飞入云霄,直接不收敛。如果让牛顿坐上过山车,那么就能和轨道绑在一起,沿着轨道平稳着陆了。弧长法也是这么做的,通过引入一组约束方程,把迭代求解的过山车,绑定在轨道上,让求解过程能够跟踪载荷位移路径。非线性方程组一般可以表示为:

V为位移,

为载荷,加入约束方程f(v,λ)=0

由上式可以得到求解迭代格式:

弧长法的图形解释如下,可以看到在一个增量步之中,载荷和位移是同时进行迭代的,载荷增量步也不像牛顿迭代法一样是常数,而是能长能短,能上能下,走得过山峰爬的了坡,因而弧长法有path-following的本领。

接下来我么采取弧长法求解上面的问题,取如下约束方程:

该函数为一个圆,这更清晰的说明了弧长法的含义,下图为k=0时的载荷位移曲线,除了极值点处有一些不足(代码未加弧长控制),弧长法得到了完整地载荷位移曲线。

总结:

至此我们介绍了弧长法的基本原理和迭代格式,可以看到,弧长法的基本思路还是较为清晰和简单的,关键是约束方程的选取,和一些求解的细节包括迭代速度优化,弧长选择等问题。这只是一个简单的例子,相信如果大家能够自己动手推推这个公式,自己编写一下代码便会有更加深刻的方法,至于该方法应用到更加复杂的问题和有限元求解格式,还有更多的探讨之处,这里先不考虑。

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首次发布时间:2019-09-27
最近编辑:4年前
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