力学概念| 理解刚度(一)

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本文摘要（由AI生成）：

本文探讨了简支梁在分布荷载下挠度、固有频率与结构刚度之间的关系，详细阐述了结构刚度的定义及其对结构设计的影响。通过数学公式揭示了挠度和固有频率与结构刚度的紧密联系，并通过结构模型说明了如何确定刚度。文章还讨论了增大刚度的结构概念，并将其应用于梁式结构，强调了在大跨度桥梁设计中加斜撑的必要性。本文为结构工程师提供了设计具有较大刚度结构的方法和思路，具有重要参考价值。

考虑承受分布荷载的简支梁，其跨度，挠度和固有频率具有如下的关系：

其中是有量纲的系数，这两个式子表明：

梁的变形与跨度的四次方成正比。
梁的固有频率与跨度平方的倒数成正比。

刚度描述了结构抵抗由外荷载引起的变形的能力。刚度定义为作用在弹性体上的力与位移的比值.

因此，和也可写成

由此可见，挠度及固有频率与结构的刚度有关。刚度的定义提供了一种计算或估算结构刚度的方法，但是没有说明如何使结构变得刚度更大。如何设计一个较大刚度的结构(包括结构外形和杆件布置)是一个基础性的实际问题，它可能甚至要比如何分析结构受力更具有挑战性。

接下来进一步挖掘刚度的深层含义。

结构刚度的定义

考虑一个由个杆件和个节点组成的结构，结构外形和构件布置不受限制。为了确定某个节点沿给定方向的刚度，可在该节点上沿给定方向作用一单位力并计算相应的节点位移。则点刚度可定义为在作用方向上的节点位移的倒数。因此，该点刚度与单位力的用位置和方向有关;换话说，在不同方向上的某点刚度是不同的。结构沿给定方向上的刚度可定义为所有点刚度的最小值:

其中，是结构刚度，是第个节点沿给定方向的点刚度，是节点数。结构刚度也可表示为由单位力引起的沿力作用方向的最大位移的倒数:

其中，是结构刚度，是单位力作用在第个节点沿荷载方向的位移，产生最大位移的节点称为控制节点。许多结构的控制节点是很容易确定的。例如，水平悬臂结构在竖向荷载作用下的控制节点是自由端;矩形简支板在分布载作用下的控制节点是板的中心。因此，在给定方向上的结构刚度可以通过在控制节点上沿该方向施加单位力来直接计算。

桁架结构的刚度

考虑一个由 s个杆件 n 个节点组成的桁架结构，在其控制节点上施加单位力。控制节点的位移与杆件内力可以通过虚功原理得出:

其中，是作用在控制节点上的单位力引起的第个杆的内力。 , 分别为第个杆件的弹性模量和截面积。注意上式与结构力学中求位移的公式的区别，这里都是相同的单位力。(8)提供了一种计算接结构变形的基本方法，可在许多文献中查到。根据(7)给出的定义，结构刚度是单位用下控制节点位移的倒数，得

其中，是第个杆的柔度。增大刚度 K可通过减小来实现。这个求和式中的各项特点可概括为:

大于0.
可以为0。
大于或等于0,无论杆件受拉还是受压。

因此，为了使尽可能小，可从数学角度得出三个结论:(1) 使尽可能多的求和项为零。(2)任意一个求和项都不应该显著大于其他求和项。(3) 所有非零求和项都应该尽可能的小。这里，(1)和(3)是显而易见的，对于(2)，来看下面的三组算例，考虑三组数据，每组包含五个数，如表 1所示：

表1反映了组内数据差值对平方和的影响。这三组数据的和是相同的，但每组五个数间的最大差值是不同的，因此这三组数据的平方和是不同的。可以看出，三组数据中五个数间的差值越大，其平方和也越大。

由上述三条结论可导出以下三个结构概念:

如果在承受某一特定荷载的结构中有许多杆件的内力为零，则荷载不通过这些杆件而被传递到支座，即荷载会沿着较短或较直接的传力路径到达支座。这说明较短或较直接的传力路径会形成一个刚度较大的结构。
如果杆件的内力的绝对值是相近的，则形成较大的刚度。换句话说，较均匀的内力分布会形成一个刚度较大的结构。
如果的值小，则意味着内力(拉力或压力)小。换句话说，较小的内力值会形成一个刚度较大的结构。