摘要

流体力学方程如伯努利定理、欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，是理解海洋和气候变化的关键。伯努利定理解释了理想流体的能量守恒，欧拉方程适用于无黏流体，而纳维-斯托克斯方程则考虑了黏性效应，是描述流体运动最普适的方程。该方程对预报自然灾害、微流控技术等领域有重要影响，但因其非线性特性，目前尚未有精确的数学理论。解决该方程将是流体力学的重大突破。

正文

海洋和气候的变化，皆受流体运动规律的影响。一旦理解流体的基本物理原理，其研究便转化为对数学，尤其是流体力学方程的研究。

在微积分和牛顿力学出现前，人们对流体运动的研究有限，仅知阿基米德的浮力定律。随着科学进步，伯努利定理、欧拉方程相继问世，而纳维–斯托克斯方程则集大成。该方程在理论和实践中均至关重要，涉及航空发动机、天气预报和海洋流动研究。而不可压缩的纳维–斯托克斯方程是否有整体光滑解是著名的七个千禧年问题之一, 难倒了所有的数学家。

伯努利原理

在流体研究取得重大突破的是18 世纪的数学家丹尼尔·伯努利. 在十七八世纪的欧洲, 来自瑞士的伯努利家族盛产数学家.

1738 年, 丹尼尔·伯努利在斯特拉斯堡出版了《流体动力学》一书,奠定了流体力学的基础. 在书中, 伯努利提出了理想流体的能量守恒定律，就是著名的“伯努利定理”.

伯努利虽然提出了伯努利定理, 但是并没有给出定理具体的方程形式. 他的好友——数学巨人欧拉在1752 年用数学公式表述出这个定理:在一个流体管道中,

这里是流体的密度, 是流体的速度, 是重力常数, 是流管横截面厚度, 是流体的压力, 如图1 所示:

图1

流体在流经不同粗细的管道时的速度、压力和管道界面厚度不同, 但是均满足上述等式.

伯努利定理是流体动力学基本方程之一. 它的适用范围是无摩擦力的理想流体, 或者在近似忽略黏性损失的不可压缩流体的运动. 在这样的流体内部, 流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变.

从方程可以看出, 对这样的流体管道, 如果流体的速度v 变大, 那么流体的压力就会变小; 反之如果速度v 变小, 压力就会变大. 这个结论可以解释很多生活中的现象.

我们都有在站台等火车的经历. 当列车即将进站时, 乘客被要求站在安全线之外, 这就是伯努利定理的一个应用. 这是因为飞速前进的火车所带动的气流与排队等候的人群形成一个气流系统. 人距离火车越近, 根据伯努利定理, 系统内的空气流速就越大, 此时火车与人之间的压力就越小. 但是人另一侧的压力是恒定的, 前后两股压力形成的压力差很容易把人推向火车一侧导致重大的安全事故. 如图2 所示, 人与火车之间形成的管道压力、流体速度和距离分别为 . 于是小时, 根据伯努利定理则大, 火车与人之间的压力

内就越小, 从而

外内把人推向火车。

图2

类似地, 在河流或海洋上两艘船如果并排前进, 相隔较近的话, 容易发生碰撞. 这是因为两船之间的水就相当于在一个狭窄的通道里流动.根据伯努利定理, 此时流速就会加快, 水的压强就会减少. 因此两船的内侧受到的压强比外侧小. 这个内外压强差使得两船逐渐靠近. 而愈是靠近, 内外压强差愈大, 最后很容易导致两船相撞.

1912 年, 当时世界上最大的远洋轮“奥林匹克” 号正在大海上航行. 在距其一百米左右海面上, 英国铁甲巡洋舰“哈克” 号也正在与之同向前进. 突然之间, 吨位小的巡洋舰好像被一只无形的巨手推动, 径直向远洋轮冲过去. 巡洋舰的舰长大惊之下连忙纠正航向, 但一切努力都归于无效. 在一股神秘的力量牵引下, “哈克” 号最终把无辜的“奥林匹克” 号撞出一个大窟窿.

图3

伯努利定理也是航空工业的一个理论基础. 它可以解释飞机为什么能飞上蓝天。

事实上, 飞机的机翼如图4 所示。

图4

为了抓住问题的本质, 我们假设空气为作定常流动的理想气体. 机翼附近的流线来自远处, 大气各部分以相同速度做匀速直线运动, 所以机翼上下的伯努利量守恒.

和分别是机翼上方流体的压力和速度, 下和下分别是机翼下方的压力和速度, 那么伯努利定理的数学表示即为

两边同时消去 , 这个式子可以简化为

飞机飞行时, 由于机翼剖面形状上下不对称和较小的迎角, 流过机翼上、下面的空气流速不同, 上部分的空气流速大、流线密, 下部分的空气流速小、流线疏, 即

因此由上式可以推出

这样一来, 机翼上下表面出现压力差, 从而产生升力. 机翼上表面的压强小于机翼下面的压力, 于是当飞机速度越来越快时, 压力差也变得越来越大, 升力也就越来越大, 最后把飞机送上蓝天.

伯努利定理有很多的应用, 除流体动力学以外, 还在天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海洋、潮汐等等方面发挥巨大的作用.

欧拉的流体运动方程

伯努利方程是欧拉方程的一个特殊情况.

欧拉是18 世纪的数学巨人, 他发展了微分方程理论, 并将其应用于流体力学的研究. 1755 年, 欧拉在《流体运动的一般原理》中通过应用牛顿力学第二定律于理想流体上, 提出了著名的欧拉方程.

下面为了描述欧拉方程, 我们引入一些相关的数学符号和公式. 特别地, 我们在三维空间中描述相应的流体现象.

假设是三维空间中的一个点, 表示时间, 流体具有速度

, 流体的压力是 .对一个函数的偏导数定义如下:

它表示函数关于的偏导数, 即把看作常量, 针对求导得到的函数. 类似地, 分别表示关于和的偏导数.同样地, 关于时间的偏导数定义如下:

有了以上的基础准备, 牛顿第二定律的数学形式表述为

是物体受的外力, 是物体质量, 是速度, 是速度关于时间的导数, 即物体运动的加速度.

假设在一团流体中, 是压力, 是流体的密度, 是外力, 是流体的速度.

我们将牛顿第二定律应用于无黏性的体的微团上会得到

上式的左边是流体微团受力分解为压力梯度和重力, 等式右边则是流体微才的加速度 (该加速度包含了微才整体的加速度和微团自身内部几何变形导致的形变加速度 ).

在 (1) 式中，

显然, 方程 (1) 可以等价于

至此, 理想流体的运动方程终于被欧拉建立起来.

这一方程事实上反映了流体的动量变化规律, 除此之外, 欧拉还给出了反映质量守恒的连续性方程. 通过这两个方程的结合, 欧拉奠定了理想流体(即流体不可压缩, 且其黏性可忽略) 的运动理论基础. 在研究计算流体流经浸没物体边界层外侧的压力分布, 或者在描述远离边界层的流体运动分布时, 作为理想流体的欧拉方程就起到主导的作用.

在流体动力学中, 欧拉方程不仅适用于理想的不可压缩流体, 同样适用于基于真实世界的可压缩流体. 在可压缩流体的运动中, 欧拉方程则由质量守恒、动量守恒和能量守恒方程组成. 正是因为其方程形式包括了广泛的物理学守恒定律, 因此欧拉方程的应用极为广泛。而且, 欧拉方程被誉为无黏流体动力学中最重要的基本方程.

炸弹产生的冲击波效应模拟、亚音速飞机、超音速导弹和超高速航空器的设计等等都受益于欧拉方程的理论和数值计算。

纳维–斯托克斯方程

欧拉方程是无黏流体的基本方程.

1758 年, 数学家达朗贝尔利用欧拉方程证明了任何形状的物体在没有黏性的物理运动时, 阻力为零. 这一结论显然严重背离了现实世界的现象, 这就是著名的达朗贝尔悖论. 悖论产生的原因就在于方程中假设了流体的无黏性质.

尽管如此, 却很少有人试图将黏度的影响包括在流体的运动方程中，为了弥补理想流体和真实流体之间的差异, 欧拉在1761年提出了流体运动的黏度理论, 然而他的理论假设流体的摩擦力与压力成正比并不成立。

从19世纪起, 流体力学研究的重点就转移到如何在欧拉方程中添加一个摩擦项, 以获得真实的结果。

1822 年, 法国桥梁工程师纳维(Navier) 首先将无黏的欧拉方程推广到真实世界带有黏性效应的流体运动中去。

不同于纳维专注于流体黏性的研究, 柯西则聚焦于对欧拉方程的变换。他在欧拉方程中引入流体微团的应力张量的概念, 从而推导了著名的柯西动量方程.

结合纳维对黏性的思考和柯西的张量思维, 斯托克斯(Stokes) 终于建立了著名的纳维–斯托克斯(Navier-Stokes) 方程。

为了推导牛顿流体一般形式的运动方程, 斯托克斯将牛顿黏性定律从一维扩展到三维, 提出了三个假设：

(1) 流体是各向同性的；

(2) 流体静止时, 法向应力等于静压强；

(3) 切应力与变形率呈线性关系。

首先, 对三维向量函数和数量函数 ,

被称为流体中的物质导数。首先根据柯西的张量观点, 流体运动方程的微分形式为：

这里是流体密度, 是流体在三维空间的速度. 是流体微团的法向应力,

是切向应力。

是外界的位势力. 根据流体物质导数的定义，

法向应力则具有如下形式：

这里是流体的压强, 是流体的黏性系数。

是速度向量的散度.切向应力则满足牛顿黏性定律：

结合以上的表达式, 斯托克斯最终推导出了如下的流体运动方程：

作为最普适的流体运动方程, 它适用于可压缩变黏度的黏性流体的运动. 如果我们假设流体不可压缩 (即 ), 且密度为常数, 上述方程就简化为纳维-斯托克斯方程：

其中是流体的速度, 是压力项, 是黏性系数.如果忽略流体的黏性效应, 即让 , 纳维 - 斯托克斯方程就简化为欧拉方程。

当前, 各种基于纳维–斯托克斯方程的CFD 软件早已渗透到各行各业, 但是纳维–斯托克斯方程的数学特性, 即解的存在性和光滑性至今仍然没有得到证明. 时至2000年, “任意给定具备有限能量的光滑初值, 三维不可压缩纳维–斯托克斯方程是否存在着整体的光滑解或者解会在有限时间内爆破？”被美国克雷(Clay) 研究所选定为七大千禧年数学难题之一。

流体力学方程的意义和影响

在流体力学领域，伯努利原理与欧拉方程固然在现实生活中扮演着至关重要的角色，但纳维-斯托克斯方程（N-S方程）对人类社会的影响则更为深远且广泛。面对历史上曾令人束手无策的自然灾害，如飓风与洪水，现代科技借助以纳维-斯托克斯方程为核心的流体力学模型，成功实现了对这类灾害的精准预报。我们不仅能准确预测飓风的生成时间和移动路径，还能及时预警洪水风险，采取有效措施防止其造成损失。不仅如此，N-S方程的变形版本，应用于黏弹流体研究，还在地震预测中发挥关键作用，为受灾人群争取宝贵逃生时机。

N-S方程不仅在宏观尺度上助力气象学与水文学，它同样深入到微观世界，与现代微电子工业紧密结合，催生出微流控与纳流控芯片技术这一高科技前沿阵地。日常生活中的喷墨打印机即依赖对微流体动力学的精细调控，而这离不开对纳维-斯托克斯方程在微米级别作用机制的理解。各类传感器，如压力、重力感应器以及用于生物化学分析和医学诊断的设备，均在微尺度下受益于N-S方程的应用。20世纪的信息革命依托电子在微管道内的流动而蓬勃发展，展望未来，21世纪及更远的科技革新极有可能围绕着蛋白质分子、生化溶液等流体在微管道中的传输展开，这些研究甚至有望揭示并模拟生命等超复杂现象的本质。

此外，纳维-斯托克斯方程在诸多科学与工程问题中起着决定性作用，涵盖海洋环流、气候建模、管道流设计、交通工具空气动力学、血液流动研究、水电站规划、环境污染评估等诸多领域。工程师们运用其原理进行高效采矿、通过安装烟囱扰流器消除卡门涡街引发的共振风险、采用孔板消能技术解决水电站泄洪安全问题，以及调整流态以降低桥梁结构的风致倒塌风险等。

尽管纳维-斯托克斯方程被认为理论上足以描述湍流这一流体力学中最复杂且未解的现象，正如物理学家海森堡所言，湍流之谜与相对论并列为他向“上帝”提问的两大主题。湍流表现为流体在高速流动中失去层流特性，形成混沌的旋涡结构，广泛存在于自然界和工程实践中，如河流急流、烟囱排放、人体血管流动等。它既带来诸如飞机飞行中的颠簸等困扰，又在特定场合如血压计的设计中转化为实用价值。

尽管纳维-斯托克斯方程自提出至今已近两个世纪，其应用已极大地推动了人类对现实世界的理解和改造，然而，其高度非线性的特性导致数学家至今仍未能找到一套严谨的数学理论精确刻画流体运动。目前的重大科技进步主要依赖于物理实验与计算机数值模拟。因此，破解纳维-斯托克斯方程的解决方案，将意味着对流体运动内在规律实现最深刻的洞见，无疑是流体力学乃至整个自然科学的重大突破。

转载自《数学往事》，作者：黄祥娣

原文出版于《认识数学(第三卷)》, 本文经科学出版社授权发布

来源：多相流在线